Công thức

[Vted.vn] – Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2021 | Vted

Originally posted on Tháng Mười Hai 11, 2021 @ 07:35

Dưới đây là danh sách Công thức tính thể tích tứ diện đầy đủ nhất được tổng hợp bởi chúng tôi

Bài viết này Vted tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt hay gặp

Đồng thời trình bày công thức tổng quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp các em giải quyết nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT Quốc Gia 2019 – Môn Toán.

637455505543972353VBzZBYvOCyR

Bài viết này trích lược một số công thức nhanh hay dùng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá COMBO X do Vted phát hành tại đây: caodangytehadong.edu.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

>>Xem đề thi Thể tích tứ diện và các trường hợp đặc biệt

>>Xem thêm bài giảng và đề thi vận dụng cao Thể tích đa diện

>>Xem thêm Tóm tắt lý thuyết và Nón – trụ – Cầu

Công thức tổng quát: Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: [V=dfrac{1}{12}sqrt{M+N+P-Q},] trong đó [begin{align} & M={{a}^{2}}{{d}^{2}}({{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}}) \ & N={{b}^{2}}{{e}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}}) \ & P={{c}^{2}}{{f}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}}) \ & Q={{(abc)}^{2}}+{{(aef)}^{2}}+{{(bdf)}^{2}}+{{(cde)}^{2}} \ end{align}]

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đều cạnh $a,$ ta có $V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng [h]. Thể tích của khối tứ diện đã cho là

A. [V=frac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}].

B. [V=frac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}].

C. [V=frac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}].

D. [V=frac{2sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}].

Giải. Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V=frac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$

Chiều cao tứ diện đều là $h=frac{3V}{S}=frac{3left( frac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{12} right)}{frac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2}{3}}aRightarrow a=sqrt{frac{3}{2}}h.$

Vì vậy $V=frac{sqrt{2}}{12}{{left( sqrt{frac{3}{2}}h right)}^{3}}=frac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=dfrac{1}{6}abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có [V=dfrac{sqrt{2}}{12}.sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}})}.]

636687590845744897wMtE8r5XEth

Ví dụ 1: Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

A. $frac{sqrt{30}}{3}.$

B. $frac{20sqrt{11}}{3}.$

C. $sqrt{30}.$

D. $20sqrt{11}.$

Giải. Ta có ${{V}_{ABCD}}=frac{sqrt{2}}{12}sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=frac{20sqrt{11}}{3}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $frac{sqrt{31}}{2}.$

B. $frac{sqrt{55}}{2}.$

C. $frac{sqrt{21}}{2}.$

D. $frac{sqrt{33}}{2}.$

Giải. Ta có ${{V}_{AMCD}}=frac{AM}{AB}{{V}_{ABCD}}=frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=frac{sqrt{2}}{24}sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=frac{10sqrt{11}}{3}.$

Tam giác $MCD$ có $CD=8$ và theo công thức đường trung tuyến ta có:

$MC=sqrt{frac{2(C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2({{7}^{2}}+{{5}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=sqrt{21}.$

và $MD=sqrt{frac{2(D{{A}^{2}}+D{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2({{5}^{2}}+{{7}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=sqrt{21}.$

Vậy ${{S}_{MCD}}=4sqrt{5}.$ Do đó $d(A,(MCD))=frac{3{{V}_{AMCD}}}{{{S}_{MCD}}}=frac{10sqrt{11}}{4sqrt{5}}=frac{sqrt{55}}{2}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt{95}{{a}^{3}}.$

B. $8sqrt{95}{{a}^{3}}.$

C. $2sqrt{95}{{a}^{3}}.$

D. $4sqrt{95}{{a}^{3}}.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều có

${{V}_{ABCD}}=dfrac{sqrt{2}}{12}sqrt{left( {{5}^{2}}+{{6}^{2}}-{{7}^{2}} right)left( {{6}^{2}}+{{7}^{2}}-{{5}^{2}} right)left( {{7}^{2}}+{{5}^{2}}-{{6}^{2}} right)}{{a}^{3}}=2sqrt{95}{{a}^{3}}.$

Chọn đáp án C.

Xem thêm tại đây: caodangytehadong.edu.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta có $V=dfrac{1}{6}abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng

A. $frac{2}{sqrt{3}}.$

B. $frac{1}{sqrt{3}}.$

C. $frac{1}{sqrt{2}}.$

D. $frac{1}{3}.$

>>Lời giải chi tiết:

Ví dụ 2: Cho hai mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ có cùng tâm $I$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}=2,{{R}_{2}}=sqrt{10}.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên $({{S}_{1}});$ hai đỉnh $C,D$ nằm trên $({{S}_{2}}).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

A. $3sqrt{2}.$

B. $2sqrt{3}.$

C. $6sqrt{3}.$

D. $6sqrt{2}.$

Giải. Gọi $a,b$ lần lượt là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta có $AB=2sqrt{R_{1}^{2}-{{a}^{2}}}=2sqrt{4-{{a}^{2}}};CD=2sqrt{R_{2}^{2}-{{b}^{2}}}=2sqrt{10-{{b}^{2}}}$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:

$begin{gathered} {V_{ABCD}} = frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac{2}{3}(a + b)sqrt {4 – {a^2}} sqrt {10 – {b^2}} \ = frac{2}{3}left( {asqrt {4 – {a^2}} sqrt {10 – {b^2}} + bsqrt {10 – {b^2}} sqrt {4 – {a^2}} } right) = frac{2}{3}left( {sqrt {4{a^2} – {a^4}} sqrt {10 – {b^2}} + sqrt {frac{{10{b^2} – {b^4}}}{2}} sqrt {8 – 2{a^2}} } right) \ leqslant frac{2}{3}sqrt {left( {4{a^2} – {a^4} + 8 – 2{a^2}} right)left( {10 – {b^2} + frac{{10{b^2} – {b^4}}}{2}} right)} = frac{2}{3}sqrt {left( { – {{({a^2} – 1)}^2} + 9} right)left( { – frac{1}{2}{{({b^2} – 4)}^2} + 18} right)} leqslant frac{2}{3}sqrt {9.18} = 6sqrt 2 . \ end{gathered} $

Dấu bằng đạt tại $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng $a.$ Biết rằng $AB$ và $CD$ là hai đường kính tương ứng của hai đáy và góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $30{}^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $frac{{{a}^{3}}}{12}.$

B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}.$

C. $frac{{{a}^{3}}}{6}.$

D. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}.$

Có $h=2r=a;{{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac{1}{3}.2r.2r.h.sin {{30}^{0}}=frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau

Ví dụ 1: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehat{SBA}=widehat{SCA}=90{}^circ ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60{}^circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. ${{a}^{3}}.$

B. $frac{{{a}^{3}}}{3}.$

C. $frac{{{a}^{3}}}{2}.$

D. $frac{{{a}^{3}}}{6}.$

Lời giải chi tiết. Gọi $H=mathbf{h/c(S,(ABC))}$ ta có $left{ begin{gathered} AB bot SB hfill \ AB bot SH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow AB bot (SBH) Rightarrow AB bot BH;left{ begin{gathered} AC bot SC hfill \ AC bot SH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow AC bot (SCH) Rightarrow AC bot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

637215524600115452RKAnGgBC1YOĐặt $h=SHRightarrow {{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=frac{{{a}^{2}}h}{6}(1).$

Mặt khác ${{V}_{S.ABC}}=frac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SAC}}.sin left( (SAB),(SAC) right)}{3SA}=frac{2left( frac{asqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} right)left( frac{asqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} right)frac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $widehat{ABC}=widehat{BCD}=widehat{CDA}={{90}^{0}},BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) right)=dfrac{sqrt{130}}{65}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $frac{{{a}^{3}}}{3}.$

B. ${{a}^{3}}.$

C. $frac{2{{a}^{3}}}{3}.$

D. $3{{a}^{3}}.$

Lời giải chi tiết. Gọi $H=mathbf{h/c(A,(BCD))}.$ Đặt $AH=hRightarrow {{V}_{ABCD}}=frac{1}{3}{{S}_{BCD}}.AH=frac{1}{3}.frac{1}{2}CB.CD.AH=frac{{{a}^{2}}h}{3}(1).$

637145542026199511ww7QN2BWbhQ

Ta có $left{ begin{gathered} CB bot BA hfill \ CB bot AH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow CB bot (ABH) Rightarrow CB bot HB.$ Tương tự $left{ begin{gathered} CD bot DA hfill \ CD bot AH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow CD bot (ADH) Rightarrow CD bot HD.$

Kết hợp với $widehat{BCD}={{90}^{0}}Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}},AD=sqrt{A{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}};AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}.$

Suy ra ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AB.BC=frac{asqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2};{{S}_{ACD}}=frac{1}{2}AD.DC=asqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}.$

Suy ra ${{V}_{ABCD}}=frac{2{{S}_{ABC}}.{{S}_{ACD}}.sin left( (ABC),(ACD) right)}{3AC}=frac{{{a}^{2}}sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}}{3sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}}sqrt{1-{{left( frac{sqrt{130}}{65} right)}^{2}}}(2).$

Kết hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow {{V}_{ABCD}}={{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,widehat{ABC}={{120}^{0}}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng ${{60}^{0}},$ khi đó $SA$ bằng

A. $dfrac{sqrt{6}a}{4}.$

B. $sqrt{6}a.$

C. $dfrac{sqrt{6}a}{2}.$

D. $dfrac{sqrt{3}a}{2}.$

Có $SA=x>0Rightarrow {{V}_{S.BCD}}=dfrac{1}{3}{{S}_{BCD}}.SA=dfrac{sqrt{3}x}{12}(1),left( a=1 right).$

Mặt khác ${{V}_{S.BCD}}=dfrac{2{{S}_{SBC}}.{{S}_{SCD}}.sin left( (SBC),(SCD) right)}{3SC}=dfrac{2{{left( dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4} right)}^{2}}dfrac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{{{x}^{2}}+3}}(2).$

Trong đó $BC=1,SB=sqrt{{{x}^{2}}+1},SC=sqrt{{{x}^{2}}+3}Rightarrow {{S}_{SBC}}=dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4};Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow {{S}_{SCD}}=dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4}.$

Từ (1) và (2) suy ra [x=dfrac{sqrt{6}}{4}.] Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

A. $dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$

B. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$

C. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}.$

D. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}.$

Có ${{V}_{ABCD}}=dfrac{2{{S}_{ABC}}{{S}_{ABD}}sin left( (ABC),(ABD) right)}{3AB}=dfrac{2left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)}{3a}sin left( (ABC),(ABD) right)le dfrac{2left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)left( frac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)}{3a}=dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$

Dấu bằng đạt tại $(ABC)bot (ABD).$ Chọn đáp án A.

Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có $V=dfrac{2{{S}_{S{{A}_{1}}{{A}_{2}}}}.{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}.sin left( (S{{A}_{1}}{{A}_{2}}),({{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}) right)}{3{{A}_{1}}{{A}_{2}}}.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,widehat{BSC}=alpha ,widehat{CSA}=beta ,widehat{ASA}=gamma .$

Khi đó $V=dfrac{abc}{6}sqrt{1+2cos alpha cos beta cos gamma -{{cos }^{2}}alpha -{{cos }^{2}}beta -{{cos }^{2}}gamma }.$

637373229188167192HLOHehLj3t1

Ví dụ 1: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=sqrt{10},AC=2sqrt{2},BD=3sqrt{3},AD=sqrt{22},BC=sqrt{13}$ có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải. Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc xuất phát từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ begin{gathered}hfill cos widehat{BAD}=dfrac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2AB.AD}=sqrt{dfrac{2}{11}} \ hfill cos widehat{DAC}=dfrac{A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2AD.AC}=dfrac{5}{2sqrt{11}} \ hfill cos widehat{CAB}=dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AC.AB}=dfrac{1}{sqrt{2}} \ end{gathered} right..$

Vì vậy ${{V}_{ABCD}}=dfrac{1}{6}.5.2sqrt{2}.sqrt{22}sqrt{1+2sqrt{dfrac{2}{11}}dfrac{5}{2sqrt{11}}dfrac{1}{sqrt{2}}-{{left( sqrt{dfrac{2}{11}} right)}^{2}}-{{left( dfrac{5}{2sqrt{11}} right)}^{2}}-{{left( dfrac{1}{sqrt{2}} right)}^{2}}}=5.$

Chọn đáp án B.

>>Xem bài giảng và đề thi tương ứng tại đây: caodangytehadong.edu.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

>>Xem thêm: Công thức tổng quát thể tích khối chóp đều

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại caodangytehadong.edu.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] – Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] – Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

637218938534126626qXkCfi56DXp

637218938784263039W59kkLWtRE5

637218939235238716HFZm3cgwYbW

637218939408235199WJq1uq4Q4ZV

637209065477451358wafdGB2ERp1

637209065562586305XD8G5Qeviig

637209065770793261zemv5fO5c1D

[Vted.vn] - Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2021 | Vted

Rate this post

Trả lời

Back to top button