Công thức

Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Originally posted on Tháng Mười Hai 10, 2021 @ 06:41

Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp

  • Đáy là một đa giác nội tiếp

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

$R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( dfrac{h}{2} right)}^{2}}}.$

Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $R=frac{13a}{2}.$

B. $R=6a.$

C. $R=frac{17a}{2}.$

D. $R=frac{5a}{2}.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Giải.Ta có ${{R}_{d}}=frac{AC}{2}=frac{sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=frac{sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=frac{5a}{2}.$

Vậy $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{5a}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{12a}{2} right)}^{2}}}=frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Tham khảo: Công thức nội suy | Phương pháp tính nội suy tuyến tính 1 chiều

Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có [R=frac{sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}.]

Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng

A. $frac{4}{3}.$

B. $8.$

C. $frac{8}{3}.$

D. $8.$

Giải. Ta có $R=frac{sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=sqrt{3}Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$

Mặt khác ${{V}_{OABC}}=frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

[12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}ge 3sqrt[3]{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}Rightarrow caodangytehadong.edu.vnle 8.]

Do đó ${{V}_{OABC}}le frac{8}{6}=frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.

Công thức 3:Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

$R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}.$

Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.

Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $a=frac{sqrt{3}R}{3}.$

B. $a=2R.$

Đọc thêm: Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều – caodangytehadong.edu.vn

C. $a=frac{2sqrt{3}R}{3}.$

D. $a=2sqrt{3}R.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Giải. Ta có $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=frac{2sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}.$

Khối tứ diện $({{H}_{1}})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $({{H}_{2}}),$ khi đó ${{R}_{({{H}_{1}})}}={{R}_{({{H}_{2}})}}=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}.$

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( a.cot frac{x}{2} right)}^{2}}}$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức $R=sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $R=frac{asqrt{10}}{2}.$

B. $R=frac{asqrt{42}}{6}.$

C. $R=frac{asqrt{6}}{4}.$

D. $R=sqrt{2}a.$

Giải.Ta có $R=sqrt{{{left( frac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{sqrt{2}a}{2}.cot {{60}^{0}} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{sqrt{2}a}{2sqrt{3}} right)}^{2}}}=frac{asqrt{42}}{6}.$

Chọn đáp án B.

Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=frac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$

Đọc thêm: Tổng hợp công thức Nguyên Lý Thống Kê rất hay của một bạn học giỏi – caodangytehadong.edu.vn

Bài viết gợi ý:

1. Công Thức Giải Nhanh Tam Giác Cực Trị Hàm Trùng Phương

2. 50 Đề ôn Học Kì Toán Lí Hóa Sinh Anh Có Giải Chi Tiết

3. Các dạng vận dụng cao của bài toán xét tính đơn điệu của hàm số

4. Chuyên đề: Tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện.

5. Chuyên đề: Tích phân hàm ẩn.

6. các dạng công thức tính nhanh thể tích khối chóp

7. Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm, GTLN – GTNN của hàm số

Rate this post

Related Articles

Trả lời

Back to top button