Cách tính

Cách Tính Tổng Các Nghiệm Của Phương Trình Lượng Giác Đặc Biệt

Originally posted on Tháng Mười Hai 17, 2021 @ 03:50

Sau đây là tổng hợp các bài viết Cách tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác hữu ích nhất được tổng hợp

Các dạng toán phương trình lượng giác, phương pháp giải và bài tập từ cơ bản đến nâng cao – toán lớp 11

Sau khi làm quen với các hàm lượng giác thì các dạng bài tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp theo mà các em sẽ học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Cách tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác

Xem thêm: Cách tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác

Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

x = α + k2π, ()

và x = π – α + k2π, ()

– Nếu α thỏa mãn điều kiện

và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

x = arcsina + k2π, ()

và x = π – arcsina + k2π, ()

– Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

x = β0 + k3600, ()

và x = 1800 – β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

x = ±α + k2π, ()

– Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

x = ±arccosa + k2π, ()

– Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

– Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là:

– Nếu α thỏa mãn điều kiện

– Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

– Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

b)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

c)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

d)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

° Lời giải:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

b)

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

c)

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

d)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

* *

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

– Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

b)

c)

d)

° Lời giải:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

+ Với

* hoặc *

+ Với

hoặc *

b)

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

c)

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Đọc thêm  Cách Tính Định Mức Tồn Kho Tối Thiểu, Cách Tính Tồn Kho An Toàn Chủ Cửa Hàng Phải Biết

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

d)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

* Lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

b)

° Lời giải:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc với

b)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc với

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

b)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

c)

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

hoặc

hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc hoặc với

d)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc hoặc

* Lưu ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Đọc thêm  Bảng lương giáo viên từ 01/7/2020 - Giáo dục Việt Nam

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

– Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ:

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

b)

° Lời giải:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

+ Với

*

+ Với

b)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

+ Với

+ Với

*: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

+ Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

+ Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

b)

° Lời giải:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

– Đặt

ta có: 2t2 – 3t + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1

+ Với t=1/2:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

b)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

+ Đặt

ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

Xem thêm: Bi Rain Sinh Năm Bao Nhiêu, Thân Hình 6 Múi Hấp Dẫn Của Bi Rain Ở Tuổi 38

+ t = 3/2 >1 nên loại

+

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + caodangytehadong.edu.vn + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

– Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,

Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

– Nếu phương trình dạng: asin2x + caodangytehadong.edu.vn + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

– Nếu thì phương trình vô nghiệm

– Nếu thì đặt

(hoặc )

– Đưa PT về dạng: (hoặc ).

◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

– Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

b)

° Lời giải:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

+ Ta có:

khi đó:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

+ Đặt

ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

b)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + caodangytehadong.edu.vn + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

– Đặt t = sinx + cosx, khi đó: thay vào phương trình ta được:

bt2 + 2at + 2c – b = 0 (*)

– Lưu ý: * nên điều kiện của t là:

– Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

– Phương trình dạng: a(sinx – cosx) + caodangytehadong.edu.vn + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng có thể giải bằng cách tương tự:

Đọc thêm  Dự toán chi phí xây nhà chính xác và chi tiết nhất 2021

Đặt t = sinx – cosx;

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) – caodangytehadong.edu.vn – 1 = 0

b) sin2x – 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) – caodangytehadong.edu.vn – 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó: thay vào phương trình ta được:

⇔ 2t2 – 2t – 1 = 0

hoặc

+ Với

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

+ Tương tự, với *

b) sin2x – 12(sinx + cosx) + 12 = 0

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

– Đặt t = sinx + cosx, , khi đó: thay vào phương trình ta được:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

+ Với t=1

*

hoặc

hoặc

+ Với : loại

III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Ta có:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

– Vậy với

thì

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

Đọc thêm: Cung Mọc là gì và cách xác định cung Mọc của bạn

a)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

*

– Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

– Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

d)

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Điều kiện: sin2x≠1

– Ta có:

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

– Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

** (thỏa điều kiện)

– Xét k chẵn tức là: k = 2n

* (không thỏa ĐK)

– Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Ta có: sin2x – sinx = 0

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

Tham khảo: Kinh phí công đoàn năm 2021 – Chi tiết đối tượng và mức đóng phí công đoàn

hoặc

– Kết luận: PT có tập nghiệm

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

– Đặt t = cosx, điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0

Đọc thêm: Cách tính cung mệnh theo năm sinh. Bảng tổng hợp tra cứu cung mệnh

Cách dùng các thể trong tiếng nhậtCác phong cách vẽ tranhCác kiểu tóc mặc áo dài cách tânCách nối các vế câu ghép lớp 5Cách mở khóa các kênh truyền hình dvb t2Cách hủy tất cả các dịch vụ của vinaphoneCác cách tiết kiệm điệnCách học giỏi các mônCách nấu các món ăn hàng ngàyCách mở khóa các kênh truyền hình

Rate this post

Related Articles

Trả lời

Back to top button